快速判断7的倍数

快速判断7的倍数 > 如果一个数被7整除，那么它减去一个7的倍数所得的结果也能被7整除。

两种方法

方法一：掐掉个位再减去掐掉数字的两倍 例： 6615

\[\begin{aligned} 661 - 2 * 5 &= 651 \\ 65 - 2 * 1 &= 63 \\ 6 - 2 * 3 &= 0 \\ \end{aligned}\]

当然，很明显 63=7*9 。所以当最后的数字是 0 或者是 7 的倍数时，该数可以判定为 7 的倍数；否则不是 7 的倍数。

方法二：掐掉后三位再减去掐掉的数字 例： 2222640

\[\begin{aligned} 2222 - 640 &= 1582 \\ 1 - 582 &= -581 \\ \end{aligned}\]

此时再用法一，判断 581 是否为 7 的倍数

\[\begin{aligned} 58 - 2 * 1 &= 56 \\ 5 - 2 * 6 &= -7 \\ \end{aligned}\]

很明显， 56=7*8 ，所以 2222640 是 7 的倍数。

简要分析

方法一：假设 \(X=10k+a_1\) ， (\(a_1\) 为个位数)，则

\[\begin{equation} \begin{aligned} X-21a_1 &= (10k + a_1) - 21a_1 \\ &= 10k - 20a_1 \\ &= 10(k-2a_1) \\ \end{aligned} \end{equation}\]

若 \(X\) 可以被7整除，则必然有 $ X'=k-2a_1$ 可以被7整除

方法二：假设 \(X=1000k + a_3\)， (\(a_3\) 为后三位数)，则

\[\begin{equation} \begin{aligned} X+k-k &= (1000k + a_3) +k -k \\ &= 1001k + a_3 -k \\ &= (7*11*13)·k - (k -a_3) \\ \end{aligned} \end{equation}\]

若 \(X\) 可以被7整除，则必然有 $ X'=k -a_3$ 可以被7整除